Rumus Aritmatika Dan Geometri Beserta Contoh Soal Dan Pembahasannya

Artikel kali ini akan membahas mengenai rumus aritmatika dan geometri beserta contoh soal dan pembahasannya.

Aritmatika dan geometri merupakan topik yang kita pelajari di bangku sekolah dalam mata pelajaran matematika. Dimana ketika ujian nasional, ujian masuk perguruan tinggi ataupun ujian dalam melamar pekerjaan sering terdapat soal mengenai keduanya.

Tidak hanya itu, kita juga harus dapat membedakan antara barisan dan deret aritmatika ataupun barisan dan deret geometri, karena kaidah barisan dan deret dapat memudahkan kita dalam penyelesaian perhitungan, seperti bunga bank, kenaikan produksi, dan laba/rugi suatu usaha. Baiklah, mari kita simak penjabaran berikut ini!

Rumus Aritmatika

  • Barisan Aritmatika

Rumus Aritmatika

Coba perhatikan tabel diatas, amati berapa selisih bilangan dari kiri kita ke kanan kita? Dan kemudian, amati berapa selisih bilangan dari atas ke bawah ?

Dari hasil pengamatan, kita mendapati bahwa selisihnya dari satu barisan selalu tetap. Misalkan dari barisan kanan kita ke kiri kita : 1, 2, 3, 4, 5 (selisihnya 1).

5 – 1 = 4; 4 – 1 = 3; 3 – 1 = 2; 2 – 1 = 1

Dan dari barisan atas ke bawah : 1, 6, 11, 16 (selisihnya 5).

16 – 5 = 11; 11 – 5 = 6; 6 – 5 = 1

Barisan seperti ini disebut barisan aritmatika.

Selisih yang memiliki nilai tetap disebut beda dan dilambangkan dengan b. Secara umum dapat dikatakan bahwa jika Un adalah rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika, maka berlaku

b = Un Un-1

Jika suku pertama (U1dilambangkan dengan  dan beda dilambangkan dengan b, maka rumus suku ke-barisan itu dapat diturunkan sebagai berikut.

U1= a

U2= U1 + b                       = a b

U3= U2 + b = (a b) + b = a + 2b

U4= U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U5= U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

Jadi, dapat dirumuskan suku ke-n dari barisan aritmatika adalah

Un= a + (n – 1)b

Keterangan :

Unsuku ke-n

a =  suku pertama

b = beda

n = banyak suku

  • Deret Aritmatika

Jika suku-suku barisan aritmatika dijumlahkan akan diperoleh deret aritmatika. Misalkan U1, U2, U3,…….,Un merupakan suku-suku dari barisan aritmatika, maka U1 + U2 + U3 +….+Un disebut deret aritmatika. Deret aritmatika dari ditulis dengan notasi Sn dengan Un= a + (n – 1)b.

Jadi, rumus umum untuk deret aritmatika adalah

Sn= 1/2 n(a + Un)

Sn= 1/2 n(2a + (n – 1)b)

Keterangan :

Sn= jumlah n suku deret aritmatika

a =  suku pertama

b = beda

Unsuku ke-n

n = banyak suku

Menentukan suku ke-barisan aritmatika jika diketahui rumus jumlah suku pertamanya. Suku ke-dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.

Un = Sn Sn-1

  • Suku Tengah Barisan atau Deret Aritmatika

Apabila diketahui barisan aritmatika berikut : U1, U2, U3,…….,Un, dengan banyaknya suku barisan aritmatika yang merupakan ganjil, maka terdapat sebuah suku tepat ditengah barisan tersebut yang membagi barisan menjadi 2 bagian yang sama. Misalkan suku tengah dari barisan tersebut adalah Ut. Maka untuk mencari suku tengah adalah sebagai berikut.

rumus suku tengah

Keterangan :

Utsuku tengah barisan aritmatika

a =  suku pertama

Unsuku terakhir barisan aritmatika dengan banyaknya n ganjil

  • Sisipan pada Barisan Aritmatika

Misalkan U1, U2, U3,…….,Un, adalah barisan aritmatika dengan suku awal U1. Jika antara dua suku berurutan disisipkan bilangan sedemikian rupa sehingga terbentuk barisan aritmatika baru, maka beda barisan aritmatika baru yang terbentuk adalah sebagai berikut.

Rumus Aritmatika dan Deret Aritmatika

 

Keterangan :

b’= beda baru setelah sisipan

b = beda sebelum sisipan

k = bilangan yang disisipkan

Rumus Geometri

  • Barisan Geometri

Coba kalian amati barisan 1, 2, 4, 8, 16,….Terlihat bahwa suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan 2 pada suku sebelumnya. Barisan ini termasuk barisan geometri.

Jadi, dapat disimpulkan secara umum, barisan geometri  adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dikalikan dengan suatu bilangan tetap (konstan). Bilangan yang tetap tersebut dinamakan rasio (pembanding) dan disimbolkan dengan r.

Jika U1, U2, U3,U4…….,Un barisan geometri dengan U adalah rumus ke-n, dan rasio r, berlaku :

Rumus Geometri

Rumus umum suku ke-barisan geometri dengan suku pertama (U1) dinyatakan dan rasio r, dapat diturunkan sebagai berikut.

U1= a

U2= U1 x r = ar

U3= U2 x r = ar²

U4= U3 x r = ar3

:        :

Un= Un-1 x r = arn-2 x r = arn-1

Dengan demikian diperoleh barisan geometri a, ar, ar², …., arn-1.

Jadi, rumus umum suku ke-barisan geometri adalah

Un= arn-1

Keterangan :

Un = suku ke-n

a = suku pertama

r = rasio

n = banyak suku

  • Deret Geometri

Jika U1, U2, U3,U4…….,Un merupakan barisan geometri maka U1 + U2 + U3 + U4 +…..+ U adalah deret geometri dengan U= arn-1.

Rumus umum untuk menentukan jumlah suku pertama dari deret geometri dapat diturunkan sebagai berikut.

Misalkan S notasi dari jumlah n suku pertama.

S= U1 + U2 + U3 +…..+ Un

S= a + ar + ar2 +…..+ arn-1…………………………………………………………………(1)

Jika kedua ruas dikalikan r, maka

rS= ar + ar2  + ar3 +…..+ arn………………………………………………………………(2)

Dari selisih persamaan (1) dan (2), dapat kita peroleh

formula deret geometri

Jadi, rumus jumlah suku pertama dari deret geometri, yaitu sebagai berikut.

Rumus Geometri dan Deret Geometri

Keterangan :

Sn = jumlah n suku pertama

a = suku pertama

r = rasio

n = banyak suku

  • Suku Tengah Barisan atau Deret Geometri

Misal diketahui barisan geometri berikut : U1, U2, U3,U4…….,Un (banyaknya suku adalah ganjil). Suku tengah dari barisan tersebut adalah Ut, maka rumusnya yaitu sebagai berikut.

suku tengah geometri

Keterangan :

Utsuku tengah barisan geometri

a =  suku pertama

Unsuku terakhir barisan geometri dengan banyaknya n ganjil

  • Sisipan pada Barisan Geometri

Apabila dalam barisan geometri disisipkan k bilangan sedemikian rupa diantara dua suku berurutan, sehingga terbentuk barisan geometri baru. Maka dalam mencari rasio barunya dapat dirumuskan sebagai berikut.

rasio baru geometri

Keterangan :

r’= rasio baru setelah sisipan

r = rasio sebelum sisipan

k = bilangan yang disisipkan

catatan geometri

  • Deret Geometri Tak Berhingga

Deret geometri tak berhingga merupakan deret geometri yang tidak dapat dicacah banyak seluruh sukunya. Perhatikan contoh berikut ini!

a. 1 + 2 + 4 + 8+….

b. 5 – 10 + 20 – 40 +…..

c. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +….

d. 9 – 3 + 1 – 1/3 +…..

Deret-deret di atas merupakan contoh deret geometri tak berhingga. Perhatikan contoh a dan b. Deret tersebut merupakan deret divergen, yaitu deret yang tidak menuju ke suatu nilai tertentu dan memiliki rasio dengan | r | > 1.

Selanjutnya, contoh c dan d merupakan deret konvergen, yaitu deret yang menuju ke suatu nilai tertentu dan memiliki rasio r dengan | r | < 1.

Pada deret konvergen, jumlah suku-sukunya tidak akan melebihi suatu harga tertentu, tetapi akan mendekati harga tertentu. Harga tertentu ini disebut jumlah tak berhingga suku yang dinotasikan dengan S∞. Nilai S∞  merupakan nilai pendekatan (limit) seluruh suku (Sn) dengan  mendekati tak berhingga. Oleh karena itu, rumus deret tak berhingga dapat diturunkan dari deret geometri dengan suku pertama a, dan n→∞.

geometri tak hingga

Karena deret konvergen (| | < 1 ), untuk n→∞, maka arn→ 0 sehingga

rumus geometri tak hingga

Jadi, rumus jumlah deret geometri tak berhingga adalah

Contoh Soal Aritmatika dan Geometri

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Tentukan suku ke-6 dan ke-10 dari barisan -3, 2, 7, 12, …

Pembahasan :

a = -3

b = Un – Un-1 = 2 – (-3) = 5

Una + (n-1)b , maka :

U6 = (-3) + (6-1)5 = 22

U10 = (-3) + (10-1)5 = 42

2. Carilah jumlah 90 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 + …

Pembahasan :

= 2

= 4 – 2 = 2

= 90

maka,

Sn=1/2(2a + (n-1)b)

Sn=1/2 x 90 (2(2) + (901)2)

Sn= 45 (4 + 178)

Sn= 45 (182)

Sn= 8.190

Jadi, jumlah 90 suku pertama dari deret tersebut adalah 8.190.

3. Diketahui barisan aritmatika 3, 5, 7, 9, …., 1.007.

Tentukan suku tengah barisan tersebut.

Pembahasan :

a =  3

b = 5 – 7 = 2

Un = 1.007, maka :

Ut = 1/2 (a + Un)

Ut = 1/2 (3 + 1.007)

Ut = 1/2 (1.010)

Ut = 505

4. Diketahui barisan 2, 12, 22, 32, …. Di antara dua suku berurutan disisipkan 4 bilangan sedemikian rupa sehingga terbentuk barisan aritmatika baru. Tentukan :

a. Beda baru

b. Rumus suku ke-n

c. Jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika baru.

Pembahasan :

a. nomor 4

b. Rumus suku ke-n adalah

Una + (n-1)b

Un = 2 + (n-1)2

Un = 2 + (2n-2)

Un = 2n

c. Jumlah n suku pertama adalah

Sn=1/2(a + Un )

Sn=1/2(2 + 2n )

Sn= n (n + 1)

5. Carilah suku pertama, rasio, dan suku ke-8 dari barisan geometri 2, 6, 18, 54, ….

Pembahasan :

a = 2

r = U2/U1 = 6/2 = 3

maka,

Unarn-1

U8ar8-1

U8= 2 (38-1)

U8= 2 (37)

U8= 2 (2.187)

U8= 4.374

6. Tentukan jumlah dari deret geometri 2 + 4 + 8 + 16 + …. (8 suku)

Pembahasan :

= 2

r = U2/U1 = 4/2 = 2 (r > 1)

Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti n = 8

nomor 6

Jadi, jumlah 8 suku pertama deret geometri tersebut adalah 510.

7. Diketahui barisan geometri 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, …., 2.048. Tentukan suku tengah barisan tersebut.

Pembahasan :

a = 1/8

r = U2/U1 = 1/8 : 1/4 = 2

Un = 2.048

maka,

nomor 7

8. Diketahui barisan geometri 1/32, 1/16, 1/8, 1/4, ….Di antara dua suku berurutan disisipkan 3 bilangan sedemikian rupa sehingga terbentuk barisan geometri baru. Tentukan :

a. Rasio positif barisan geometri baru

b. Rumus suku ke-n barisan geometri baru

c. Jumlah n suku pertama dari barisan geometri baru.

Pembahasan : 

Barisan geometri 1/32, 1/16, 1/8, 1/4, …. atau bisa juga disajikan 2-5, 2 -4, 2-3, 2-2, ….

a. Perhatikan dua suku berurutan, misal U1 dan U2 = 1/32 dan 1/16, maka :

nomor 8

b. Rumus suku ke-n adalah

Unarn-1

Un= 2-5(2n/4-1)

Un=2n/4-6

c. Jumlah  suku pertama adalah

nomor 8c

9. Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret geometri 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +….

Pembahasan :

a = 1

r = U2/U1 = 1/2 : 1 = 1/2

maka,

nomor 9

10. Suku pertama dari suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4. Carilah rasionya.

Pembahasan :

a =  2
S = 4

maka, kita substitusikan ke dalam rumus S

nomor 10

Itulah penjabaran mengenai rumus aritmatika dan geometri beserta contoh soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat !

Leave a Reply

Send this to a friend